第2子が生まれましたが、手続きは必要ですか

必要です。

第2子については「額改定認定請求書」で申請をしないと手当ての対象にはなりません。
申請の翌月分から（月末に生まれた場合は、出生日から15日以内に提出すれば出生の翌月分から）手当ての対象になります。